| 等人的工作，遂在数学领域中发展出了一个新分枝——集合论，同时在逻辑学与数学之间建立了一个边缘学科——数理逻辑。
但是，当集合论与数理逻辑还刚刚建立的时候，康托尔即在 1895 年提出的 " 素朴集合论 " 中发现了所谓 " 最大基数的悖论。 " 嗣后不久，另两位数学家希拉里——弗尔提又发现了所谓 " 最大序数的悖论 " 。而当 1902 年罗素提出了著名的 " 罗素悖论 " 以后，存在于数学的逻辑基础中的这一系列悖论，就深深地震撼了数学界，以致引起了数学史上所谓 " 第三次危机 " 。 ( 第一次数学危机发生在古希腊数学史上，是由于无理数的发现造成的。第二次数学危机发生在 17 世纪，是由于微积分发明后，贝克莱主教指出数学分析中关于 " 无限小 " 概念存在悖论而引起的。 )
1902 年，当弗雷格的《算术原理》第二卷即将出版时，罗素写给他一封信。信中指出，在集合论的理论中存在着一个悖论。通俗地说，这个悖论可以用下面的例子来解释：
有的集合不是自身的元素。例如 " 铅笔 " 作为一个集合概念，本身并不是一枝 " 铅笔 " 。但有的集合则是它们自身的元素。例如 " 概念 " 这个集合概念，本身则就是一个 " 概念 " 。
现在规定用 M 表示一切属于自身的集合。用 N 表示一切不属于自身的集合。那么，这里就出现了一个问题。试问， N 这个集合，它本身究竟应当被划分于 M ，还是应当被划分于 N 呢？可以作两种假定：
第一，假定 N 属于 N 。在这种情况下， N 就是属于其自身的集合。但按照上面对 M 的定义，这样的集合，即 N ，恰恰应当属于 M 。
第二，假定 N 属于 M 。那么在这种情况下， N 就是不属于其自身的集合。然而按照以上关于 N 的定义， N 恰恰应当属于 N 。
在这里，我们遇到了一个很有趣的矛盾推理式。这个悖论的发现，直接危及了集合论的逻辑基础，因此深深地震撼了当时的数学界。弗雷格在收到罗素的这封信后，连忙为正在印刷中的《算术原理》补加了一个后记。他说： " 对一个科学家来说，没有任何事比这种事更为不幸了。这就是当他的毕生工作即将完成的时候，他的理论大厦的基础却被人动摇了。正当本书的印刷即将完成的时候， 罗素 先生写来了一封信，这就使我被置于这样一个地位上了。 "" 但使我聊感自慰的是，任何一个人如果在他的证明中应用到概念的外延、类和集合等范畴，那么他就必将处于和我相同的地位。这里成为问题的，并不是我尝试建立算术基础的那种特殊方式，而是算术究竟是否能有一个无矛盾的逻辑基础。 " （《弗雷格哲学著作选》牛津 1952 年版第 234 页）
哥德尔后来也指出： " 罗素把康托尔集合论中的悖论剥去了一切数学上的技术性细节，而让大家看到——我们的许多逻辑直觉（如关于公理、类概念、存在、集合等等直觉），其实都是自相矛盾的。 " 从此以后，悖论问题，更正确地说是消除数学逻辑基础中的悖论的问题，即成为 20 世纪以来数理逻辑各学派全力以赴试图解决的一个根本难题。
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在数理逻辑发现悖论以后，罗素随之注意到在古代的哲学史中，悖论早就作为一个引人注目的逻辑现象和语言现象而存在了。 1918 年罗素曾提出著名的 " 理发师悖论 " 和 " 说谎者悖论 " 为例子。这些思想史上的悖论，实际上乃是一些很有趣的小故事。例如：据说某理发师作出一个规定——他只给一切不自己刮胡须的人刮胡须，反之不刮。但是他立即发现，这个看来很简单的规定，却使他陷入了困境。问题是如果严格地执行这个规定，那么他是否可以给他自己刮胡须呢？如果刮，那么按照上述规定，他就恰恰不能给自己刮。但如果不刮，那么按照他的同一个规定——给一切不刮自己胡须者刮胡须，他就正应当给自己刮。他到底应该怎么办呢？
在西班牙名著《堂·吉诃德》里，也有一个关于悖论的类似难题：据说某地有一座桥，桥上有一个规定，要求凡过桥者必须如实告知他所去的目的地。讲真话者放过桥，讲假话者绞死于桥上。但有一位过桥者却对守桥者说： " 我此行就是来桥上受绞刑的。 " 这一声明却使守桥者大感困惑。因为如果把此人绞死，那么他是讲了真话的，而按规定则应让讲真话者过桥。但若让此人过桥，那么他即在讲假话，而按规定应将讲假话者绞死。究竟该拿这个聪明的过桥人怎么办呢？如果相信这句话是真话，那么此人却分明宣称自己正在说谎，这是矛盾。但如果认为这句话是假话，那么此人又正在宣称这是假话，也就是说，他之所说恰恰是真话，而这又是矛盾。结果就正如黑格尔在论述这个悖论时所说的： " 这里，两个对立的方面，说谎与真话，是结合在一起的。这种对立面的结合，曾经在各个时代以各种不同的方式一再出现，并且引起人们经常注意。 "( 黑格尔：《哲学史讲演录》，第一卷，第 121 页，第 279 页。 )
在这些悖论中，恰恰印证了斯宾诺莎的深刻的辩证命题——规定既否定。用以规定自身的原理，在这里直接设定为同时是否定自身的原理。如果说在这一类有趣的小故事中，悖论作为一种特殊的思维形式，还仅仅是一些虽有机智却无内容的概念游戏而可以置之不论，那么更深入地回顾古代哲学和逻辑学的历史，却可以发现逻辑悖论在人类思维历史中的存在，具有极深刻的根源。对它的认识关联着对人类理性本质的认识（这一点是康德所指出的）。尤其应当注意的是——合理的矛盾思维，从来就是辩证思维的特殊形式。研究古希腊的哲学史，可以看出这样两个阶段：第一阶段，从泰勒斯到芝诺，哲学思维主要以客体为对象，宇宙的起源问题和本原问题，是哲学认识的基本问题；而在芝诺以后的第二阶段，在形式逻辑的思维规则被亚里士多德制订出来以前，曾经存在一个哲学思维的前逻辑时期。在这个时期，概念思维和宇宙本体的关系问题，逐渐上升为哲学思维的主要内容了。（由于希腊哲学史的这一转折是以芝诺悖论的提出为标志的，因此黑格尔曾恰当地把芝诺称作 " 辩证法 " ——即广义的思辨逻辑的 " 创始人 " 。 ( 黑格尔：《哲学史讲演录》，第一卷，第 121 页，第 279 页。 ) ）
从亚里士多德的著作中可以看出，他认为当时的希腊哲学中曾存在三种思辨逻辑，它们是：
（ 1 ）辩证的方法（表述客观矛盾的思辨形式）；
（ 2 ）诡辩的技术（利用语词矛盾的思辨形式）； ( 哲学史上的诡辩术，本身亦具有一种特殊的逻辑。中国古代公孙龙的〓 " 白马非马 " 辩即是一例。 )
（ 3 ）哲学的方法——形式逻辑（非矛盾的规范性思辨形式）。
亚里士多德指出： " 辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装；对于诡辩术，智慧只是貌似而已，辩证家则将一切事物囊括于他们的辩证法中。 "" 哲学在切求真知时，辩证法专务批评；至于诡辩术尽管貌似哲学，终非哲学。 "( 《形而上学》第 62 页。 ) 为了理解亚氏的这段话，我们必须注意，在希腊文中，所谓 " 哲学 " —— Philosophia ，本义为爱智术，求智慧之术。 " 诡辩 " —— Sophistes ，其本义为 " 智术之师 " 。而 " 辩证法 " —— dialego ，其本义相当于中国古代的名辩之学，即辩说术 ( 何新：《辩证法及形而上学的本来涵义及其演变》（《新华文摘》， 1980 年第 7 期）。并参看黑格尔：《哲学史讲演录》，第一卷，第 121 页，第 279 页。 ) 。在亚氏看来，只有哲学的求知方法——即形式逻辑，才是认识真理的唯一科学方法。亚氏还指出，辩证法与诡辩术就逻辑形式看，具有一个共同点，即二者都是以矛盾思维为特色的，而他认为一切矛盾思维，从形式看即是谬误的。 ( ④⑤⑥《形而上学》第 62 、 71 、 62 、 67 、 68 页。 ) 因此他断言，赫拉克利特的辩证法与普罗泰哥拉的诡辩术，二者都属于谬误的方法。他说： " 赫拉克利特曾说同样的事物可以为是、亦可以为非是，这是任何人所不能置信的。 " ④ " 普罗泰哥拉的教义也是从同一意见发展出来的，要是正确就两皆正确，要是谬误就两皆谬误。 " ⑤ " 我们必须预想到各项附加条件，以堵住诡辩家乘机吹求的罅隙。 " ⑥实际上，从《形而上学》一书中可以清楚地看出，亚氏的 " 不矛盾律 " ，正是针对以赫拉克利特为代表的辩证学派和以普罗泰哥拉为代表的诡辩派而提出的。
在亚里士多德以后，特别是经过中世纪经院哲学家的研究和发展，古代希腊哲学中的三种逻辑变成了一种单一的逻辑。亚氏所创立的形式逻辑，从理论上排斥了具有矛盾思维特点的辩证法和诡辩术，不仅被看作是一种正统的逻辑，而且被看作是唯一的逻辑。
黑格尔后来指出，在古代哲学史上，辩证法常常被混同于诡辩术。 ( 参见黑格尔：《小逻辑》，贺麟译，新版第 176 — 177 、 197 页。 ) 而这一混淆最早其实恰是从亚里士多德那里发源的。列宁在阅读亚氏的《形而上学》一书时曾深刻地指出：“形而上学这本书在开头的地方坚决反对赫拉克利特，反对存在和非存在同一的思想。”“经院哲学和僧侣主义抓住了亚里士多德学说中僵死的东西，而不是活生生的东西：寻求、探索、迷宫、人迷了路。” ( 《列宁全集》第 38 卷第 416 — 417 、 104 页。 )
如果说，认识到辩证法和诡辩术都以矛盾思维为共同特点，这里亚里士多德在逻辑学上的重要发现之一；那么根本否定一切矛盾思维的合理性，并把辩证法混同于诡辩术一齐摒弃，这却是亚氏在逻辑学上的一个重大失误。这一错误影响和延滞了逻辑学在后来两千年中的发展。可以这样说，在西方哲学史上，从亚氏以后，直到康德重新发现人类理性的逻辑结构中存在着矛盾思维的必然性，从而为近代逻辑研究开拓出一个新方向为止，非辩证的思维，即恩格斯称之为 " 形而上学 " 思维方式，黑格尔称之为 " 有限理智 " 或 " 知性 " (" 只能产生有限规定，并且只能在有限规定中活动的思维，便叫作知性。 " （黑格尔《小逻辑》中译新版 93 页） ) （ Verstand ）的思维方式，是一直占据着逻辑学界中的独家正统地位的。
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在《形而上学》中，亚里士多德为了反驳赫拉克利特和普罗泰哥拉的矛盾命题，曾经提出了这样两个例证：（ 1 ）假如对于同一主题，在同一时间内所有的相反说明都是对的，显然，一切事物必将混一。假如对任何事物可以肯定或否定，同一事物将是一艘楼船，一堵墙与一个人 "( ②《形而上学》第 62 、 71 、 67 、 68 页。 ) ；（ 2 ） " 假如一事物存在又不存在是真的，那么一事物既是人而又是非人也是真的。但这不可能真。 " ②
仔细分析起来，这两个例证都是有漏洞的。在（ 1 ）中，亚氏提出了一个命题：一个人不能同时是一艘楼船而且是一堵墙。因为对同一事物的对立规定不能同时并存。他指出这个命题是假的（它的确是假的）。他试图以这个命题假，来反证不矛盾律真。但若把这个命题在形式上一般化，令字母 A 代 " 人 " ， B 代 " 楼船 " ， C 代 " 墙 " ，就可得到下面的合取式： A ∧ B ∧ C 。这个公式本身是非真、非假；也就是说，可真亦可假的。其真假取决于命题的内容，而非取决于命题的形式。
如果对此合取式作以下代入： " 一个人是一位智者而且是一个疯子。 " （就是说，某人既具有智者的属性，同时又具有疯狂的病理属性）或者 " 帝国主义既是真老虎又是纸老虎。 " 尽管 " 智者 " ， " 疯子 " ； " 真老虎 " ， " 纸老虎 " 是互相否定的概念，但 上一页 [1] [2] [3] [4] 下一页
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