| 这两个基本符号构建的序数体系，二进位制记数法是先天易的逻辑基础。 第二节 先天易是专门定义的抽象数 我们知道，中国数学史所讨论的内容基本上都属于算术范畴，在古代被称为算学，即布算之学，重于计算技巧。而中国古代数学是专指邵雍为代表的研究传统，即通过对抽象数的研究来探寻宇宙万事万物的内在逻辑。俗言中心中有数、定数就是这个数。伊川说：“数学至康节始入理也。”《四库全书提要》评述道：“物生有象，象生有数，乘除推阐，务完造化之源者，是为数学。”就是说：主张物的产生必有象为先导，象的产生必有数为基础，对数的关系进行深入探究，以达到穷尽造化演化规律的学问称为数学。上海古籍出版社《四库术数类丛书》出版说明指出：“(数学)实际是指据《周易》阴阳奇偶之数推衍出来的象数说。” 邵雍是如何看待数的呢？《观物外篇》说： 易有内象，理数是也；有外象，指定一物不变者是也。 自然而然不得而更者，内象内数也，他皆外象外数也。 此就是说，象数可分两大类：一是内象，用以表示内在的理数；一是外象外数，用以表示外在的具体事物及其相关的数据。前者指奇偶变化的法则，后者指天地风雷等变化的形迹。实际上，中西古代数学史所讨论的数都是具体的数量，都是带单位的数，即这里的外数。理数之称，强调数自身的内在逻辑性不是人的主观所能安排或改变的，此即“自然而然不得而更者”，故称其为内数，他把内数所具备的内在的数理逻辑称为“自然之道”。 换句话说，理数即是用于说理之数，强调其数之理，说明这种数的主要特征是具有内在的逻辑性。内数，指阴阳逻辑系统，用以研究事物的内在所固有的数理逻辑。从数学学派的著作中可以看出两种内涵都有而前者是根本。中国数学史上的内学和外学之分，常常是建立在这种概念基础上的。研究抽象数理逻辑的数学称为内学，而研究具体数量关系的算学称为外学。邵雍特地将体现“自然之道”的内数即数理逻辑与通常所用的“指定一物不变”的指实数区别开来是有其目的的，其目的是要将他所倚重的内数即数理逻辑发扬光大，做为他理论的基石。 邵子将数分成内数与外数两种性质完全不一样的系统，在数学史上是一个独具慧眼的发现。根据抽象数学发展的需要，现代数学中把数分为抽象数(即不名数Abstract Number)和名数(Concrete Number ) 两类（见（台）《中山自然科学大辞典》第二册《数学》P33～78）。抽象数（不名数）的定义是： “任意单纯的数，与任何特别的事物无关，除非这些事物具有数的性质，主要用以表示与名数的差别。”而名数的定义是：“一数附于特别的事物或单位，例如三个人或三小时等，此数及其所涉及者并称为名数。” 这种划分与邵雍关于内数与外数的划分基本上是一致的，邵雍定义中的外数是“指定一物而不变者”，就是现代定义中的名数；而内数是用以表达数之理，其定义除了与抽象数的定义一样强调“与任何特别的事物无关”之外，还侧重强调其逻辑具有浅显(自然而然)而严密(不得更者)的特征，表明它主要是用来探寻事物的内在规律性(自然之道)。内外数的划分，标志着中国中古时期存在相当成熟的理性思考，增添了传统科学中研究抽象关系的纯粹科学特色。邵雍开创的学术传统，被称为数学。《四库全书》列有数学专目，而《古今图书集成》也有理数部，专门收集数学学派代表作。 第三节 邵雍数学学派关于二进制序数换算问题的讨论 邵子先天易作为二进位制序数体系无疑是成立的，就像不能说只把写成阿拉伯数字形式才算是数字一样，无论从何角度也不要求非得把它换算成十进制不可。 理数是序数体系，有别于通常所用的基数体系。在介绍相关换算之前，有必要介绍两者在计数方式上的微小差别。基数从“没有”（0）开始，序数从“第一”开始。在十进位制表示中，从0到9十个基本记号来自基数的自然表达，对应于序数则是从第一（即以第“零”为一）到第十。同样的基本记数符号所代表的序数比基数多1,即n进制中符号系列a1a2…am所代表的序数为（a1a2…an）n+1。这种概念上的区别有非常明确的物理意义，如状态函数ψ(000)代表第一个状态（基态）。 先天易是以太极(阳)为基础构造的系统演化理论，在阴阳的关系上邵雍《观物外篇》指出： 阳不能自立，必得阴而后立，故阳以阴为基。阴不能自见，必待阳而后见， 故阴以阳为唱。 邵雍数学学派以数为出发点，理从数中来。因此这里首先讲数（阴阳）的关系。根据阴阳特性和“一每生二，自然之理”法则，阳爻相当于零值，阴爻相当于位值。 “阳以阴为基”是说假如没有阴爻在高位，阳爻的个数对序的大小不产生影响，即高于位值（阴）的零值符号（阳）对序没有贡献，所以称阳爻以阴爻为基。例如：阴“- -”其对应序数为2，即(1)2＋1＝2；“兑”亦对应于序数2，即(001)2＋1＝2。 “阴以阳为唱”是说低位的阳爻高位的阴爻代表的位值倍增。例如：阴“- -”其对应序数为2，即(1)2＋1＝2；“巽” 其对应序数为5，即(100)2＋1＝5。 两句话说的是阴爻与阳爻在构成二进位制数的具体过程中表现出来的相互依存的两种不同的作用。即以阳为0，以阴为1高位在下的二进位制自然数。在《皇极经世书》中，“唱”与“和”均通用为相乘算法。下面我们从一个有趣的例子来介绍先天易中对二、十进制换算的处理。南宋张行成在《易通变》(又名《皇极经世通变》)卷一中说： 乾兑离震巽坎艮坤者，名也，名所以表其德；一、二、三、四、五、六、七、八者，数也，数所以定其位。位者，体也，故有位斯有卦；德者，用也，故有卦斯有爻。卦者，体也；爻者，用也。先天图反观之则乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。乾坤坎离四卦不变，余四卦则震艮巽兑互相易矣。天之一、三不变，二、四变；地之六、八不变，五、七变。 卷三十八则有如下论述： 卦自内观之，则乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八；卦自外观之，则乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。 先天卦数即大家都很熟悉的乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。张行成说，从内往外读，即初爻为高位，卦的理数值是这个结果。假如反过来，自外往内读， 即上爻为高位，则是乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。 下面依上述“阳以阴为基，阴以阳为唱”的规则，转换成十进制值。若高低位的规定对换，则乾坤坎离四卦表示值不变，而震与艮、巽与兑的表示值互相交换。 乾(000) 2＋1＝1； 坤(111) 2＋1＝8； 坎(101) 2＋1＝6； 离(010) 2＋1＝3； 震由(011) 2＋1＝4变成(110) 2＋1＝7； 艮由(110) 2＋1＝7变成(011) 2＋1＝4； 巽由(100) 2＋1＝5变成(001) 2＋1＝2； 兑由(001) 2＋1＝2变成 (100) 2＋1＝5。 第四节 明清时期对先天易二进位制的两种典型观点 一、王夫之斥先天易沦为算士铢积寸垒的小术 现代人对先天易卦衍生序的讨论都尽量限制在哲学范围之内。而从我们上面的讨论中可知，先天易卦符号首先是数的符号，然后在此基础上讨论包括哲学在内的其它问题。先天易符号二进位制数结构对明清学者来说是简单的事实。他们分歧的焦点在于强调二进位制数结构的先天易模型能否规范万物万象。作为邵雍数学学派的主要反对者，王夫之在评论邵雍以加一倍法演先天易时说： 教童稚知相乘之法则可，而与天人之理毫无可取。使以加一画即加一倍言之，则又何不可加为七画以倍之为一百二十八，渐加渐倍，亿万无穷，无所底止，又何不可哉？不知《易》但言四象生八卦，定吉凶，生大业，初不可损羲爻，益而为四爻，五爻。此乃天地法象之自然，事物通变之定数，不可以算士铢积寸垒，有放无收之小术，以乱天地之纪也。 邵雍、蔡西山之道，可勿仅以数学名也。始姑就之，天下趋焉；终遂耽之，大道隐焉。(《续春秋左传博议》卷下) 在他看来，先天易仅仅是算博士“铢积寸垒，有放无收”的雕虫小技而已，与大道无涉，也正是由于过分强调二进位制数学特性而失去了诠解大道的资格。 二、汪莱从Ｐ进制角度论证二进制的优越性 汪莱是清朝乾嘉时期杰出的数学家，也是中国古代著名的数学家。著有《衡斋算学》七卷、《衡斋遗书》九卷。因不满考据家因循复古的陈腐风气，郁郁不得志，以致英年早逝。 当时考据家以非两汉正统为由对邵雍数学学派进行全面否定，而从汪莱数学名著《参两算经》则可以看出他对邵雍观物思想和先天易情有独钟。 《参两算经》全文不足千字，分为《原始》、《立纲》、《汇奇》、《列偶》、《会归》，最后为《参两数说》，共六部分。文字极为凝炼，其中《原始》、《立纲》、《会归》各仅仅３０余字。 其中《原始篇》曰： 端居观物，情契先天，见象数之纷纭，其可断者不外乎参两，乃著之则以示来者。 此篇为前言，讲明此算经的写作目的。在当时观物之学极为尴尬的形势下，“端居观物，情契先天”八个字包含的情感非同一般。 《立纲篇》： 立数在十，算如常法。或上或下，逢身进位。立法少实，即命为法，立法过实，盈实进一。大纲若此，诸数以定。
此为算法总纲，讲任意进制的乘除法及整除性法则。《汇奇篇》和《列偶篇》则分别为奇数进位制与偶数进位制的乘除法及整除性研究。 《会归篇》是本经的结论部分： 曰参曰两乃数之原。立数于参，二乘一一。立数于两，一乘不烦。是以生诸数之法而不受裁于法。 通过上面的讨论，结论是二进制乘法口诀最简单，只需一算式，即一乘一等于一，并强调了二、三进位制的优越性，推之为“乃数之原”，旨在阐述他对“参天两地而倚数”的数学理解。 天津师范大学李兆华教授对汪莱数学著作有深入的研究，他在《汪莱〈递兼数理〉、〈参两算经〉略论》(吴文俊主编《中国数学史论文集（二）》)一文的最后指出： 《参两算经》一书，提出了采用各种进位制的原则是“审法与数之宜”以求运算的简便与结果的准确，足见汪氏治算观点之高。汪氏又具体地给出2≤p≤10时各种进位制中的乘除表并深入地讨论了p进制中的“整除性”问题，在中算史上是空前的。p进制的研究是随着本世纪四十年代电子计算机的产生而发展起来的，而中国的数学家在电子计算机产生之前一百余年对p进制的运算和理论达到如此熟练与深入，实在是值得骄傲的事情。 最后应该指出，这两篇著作都涉及到《易经》。《易经》究竟给予汪氏怎样的 上一页 [1] [2] [3] [4] 下一页
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